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一种结合有限元的方法对声音传播进行分析

摘要
这篇主要是结合有限元的方法对外部领域的亥姆霍兹问题进行研究。采用拉格朗日乘子的方法公式给无限空间下定义，这个公式在一篇区域分解的文章里出现和被分析。这种方法用一种工业声学软件详细描述实施方面。数字结果显示这种方法在声音散射问题上的计算效率。
1、 引言
这篇文章的重点是处理声辐射。当外部条件满足无界条件下的Sommerfeld散射条件和散射物质边界上的诺埃曼边界条件，数学公式就由满足两者条件的亥姆霍兹方程式组成。这样的问题通常用各种各样的边界元法解决。这种方法提供在整个频率范围内的可靠结果。但是，如此方法导致一个线性系统带有稠密矩阵，并且对高频范围的计算成本变的非常高。一种可以选择的方法是有限元法，有限元法在于对有限的空间进行分割，以至于能满足吸收边界条件。离散化后获得一个有着稀疏矩阵的线性系统。有限元法涉及外部声学问题的建模，在此基础上无限元法是对有限元法的简单扩展。这些外部问题涉及无边的介质和需要一个合适的Sommerfeld散射条件。在一个环绕声源正侧凸曲面的表面，无限元公式依靠一个被缩短的声学领域展开式。这一概念被Burnett,Asrley,Ihlenburg,Gerdes等人分析过,这是对以前Bettess介绍的无限元法的扩展。离散化后，无限元法致使一个线性系统带有稀疏矩阵。当分析学术问题时，处理亥姆霍兹问题给适合考虑无限元。
对工业应用而言，从先前离散化后获得的线性系统问题通常因为运用直接解法有稳定性的原因而被解决。但是，内存需求和计算成本随着声学模型尺寸的增加而快速提高。为了能够解决更大的模型问题，并行计算机应运而生。通过直接数学法的并行解决方法是一种选择。迭代法是更容易实现平行并且需要更少的内存，但是可能缺少像报章杂志等所具有的强有力的说明。另一种方法叫做区域分解，它依靠把整个区域分解成许多子区域，以致把整个问题分解为多个小问题，然后把这些小问题独立解决。由于这一特点，区域分解非常适合并行计算。就不重叠区域分解来说和为了修复子区域之间的连接，边界条件被强加于子区域之间的界面上。这就造成所谓的界面问题，这一问题用来描述子区域之间的耦合。这种界面问题的解决方法容易产生整个区域的解决方法。最近，一种不用重叠的施瓦茨的方法被引进并扩展到声学问题。这种运算法则包括在每一个子区域的直接解法和在界面处的迭代法。这一法则的目的是把直接解法的稳健性和递次求近法的复杂性结合起来。几年前，无重叠的施瓦茨的方法已经被最优化和成功应用于工业声学内部。