模的交运算的算法研究.doc
模的交运算的算法研究,摘 要模的理论是现代数学中越来越重要的工具，它统一了许多数学结构，也是研究交换代数的基本工具。而在模的所有运算中，模的交运算是一个相当重要的运算法则，它有很多应用背景。问题是怎样计算出理想和子模的交的基本运算？事实上，存在一些不同的计算模的交的方法，但它们的计算方法往往相当复杂，不易得到。我们的目标是所运用的方法可以很...
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此文档由会员 pxz1013 发布摘 要
模的理论是现代数学中越来越重要的工具，它统一了许多数学结构，也是研究交换代数的基本工具。而在模的所有运算中，模的交运算是一个相当重要的运算法则，它有很多应用背景。
问题是怎样计算出理想和子模的交的基本运算？事实上，存在一些不同的计算模的交的方法，但它们的计算方法往往相当复杂，不易得到。我们的目标是所运用的方法可以很容易的转换到代数中，能够运用已学过的知识来解决问题。
本文主要介绍了模相关的基本概念和各个部分的相关知识，包括理想和模的Gröebner基。并介绍了一种构造模的交的算法，该方法不但能很好地解决上述问题，且相对容易，便于在计算机上的应用。与现有的方法相比较，实例表明改进后的方法能够更有效地、快速的计算出结果。
本文的基础是模，创新点在于：
1. 利用Gröebner基的相关理论改进了理想的交的算法理论，使结果可以更加容易得到，并给出了计算算法。
2. 利用模的相关理论改进了模的交的算法理论，使结果可以更加容易得到，并给出了计算算法。
3. 将所有改进后的算法用程序有效实现。实例表明改进后的程序能够比较有效地计算出理想与模的交。
关键词：理想，Gröebner基，模，合冲模，模的交
ABSTRACT
The theory of modules is increasingly important in modern mathematics. It unifies many mathematical structures, and is the basic tools in commutative algebra. Computation of the intersection of modules plays a very crucial role in many application fields.
The question is how to do we compute efficiently the intersection of the ideals and sub-module ? In fact, we have various different approaches to compute the intersection of two modules in the theoretic sense. Our goal is to apply some methods in Computer Algebra to deal the related problems.
This paper introduces firstly the basic concepts and modules-related parts of knowledge, including Ideals and modules and Gröebner bases. One presents an approach to compute intersection of modules, which is relatively easy to be implemented in the computer System.
This paper is based on modules, The main result of this paper:
1.Apply the theory of Gröebner basis to improve the method for computing intersection of ideals , and the algorithm is also presented.
2.Apply the theory of modules to improve the method for computing intersection of Modules.
3. Implement all the algorithms in this paper in Maple System.Several examples are illustrated our improvements.
Keywords: Ideals,Gröebner basis,Modules,Syzygy Modules,Intersection of modules
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景及意义 1
1.2 模的发展与现状 2
1.3 本文主要内容 2
1.4 本文安排内容 3
第二章 基础知识及相关理论 4
2.1 环的基本理论 4
2.1.1 环的定义及基本性质 4
2.1.2 环同态 5
2.2 域的基本理论 6
2.3 理想 8
2.4 模及其相关理论 10
2.4.1 模、子模与商模 10
2.4.2 模同态 11
2.4.3 直和、直积与自由模 12
2.4.4 合冲模 13
2.5 本章小结 13
第三章 理想和模的Gröebner基 14
3.1 Gröebner基的基本理论 14
3.2 Hilbert基定理及Gröebner基的算法 16
3.3 MAPLE 符号计算软件介绍 18
3.3.1 Maple简介 18
3.3.2 Gröebner基软件包 19
3.4 理想的交的计算 20
3.4.1 基本定理 20
3.4.2 相应算法 22
3.4.3 进一步研究 22
3.5 模的Gröebner基 25
3.6 本章小结 26
第四章 模的交的算法研究 27
4.1 合冲模及其算法 27
4.2 两个子模的交 30
4.3 多个子模的交 34
4.4 相关算法 39
4.5 本章小结 39
第五章 结论与展望 41
参考文献 42
摘 要
模的理论是现代数学中越来越重要的工具，它统一了许多数学结构，也是研究交换代数的基本工具。而在模的所有运算中，模的交运算是一个相当重要的运算法则，它有很多应用背景。
问题是怎样计算出理想和子模的交的基本运算？事实上，存在一些不同的计算模的交的方法，但它们的计算方法往往相当复杂，不易得到。我们的目标是所运用的方法可以很容易的转换到代数中，能够运用已学过的知识来解决问题。
本文主要介绍了模相关的基本概念和各个部分的相关知识，包括理想和模的Gröebner基。并介绍了一种构造模的交的算法，该方法不但能很好地解决上述问题，且相对容易，便于在计算机上的应用。与现有的方法相比较，实例表明改进后的方法能够更有效地、快速的计算出结果。
本文的基础是模，创新点在于：
1. 利用Gröebner基的相关理论改进了理想的交的算法理论，使结果可以更加容易得到，并给出了计算算法。
2. 利用模的相关理论改进了模的交的算法理论，使结果可以更加容易得到，并给出了计算算法。
3. 将所有改进后的算法用程序有效实现。实例表明改进后的程序能够比较有效地计算出理想与模的交。
关键词：理想，Gröebner基，模，合冲模，模的交
ABSTRACT
The theory of modules is increasingly important in modern mathematics. It unifies many mathematical structures, and is the basic tools in commutative algebra. Computation of the intersection of modules plays a very crucial role in many application fields.
The question is how to do we compute efficiently the intersection of the ideals and sub-module ? In fact, we have various different approaches to compute the intersection of two modules in the theoretic sense. Our goal is to apply some methods in Computer Algebra to deal the related problems.
This paper introduces firstly the basic concepts and modules-related parts of knowledge, including Ideals and modules and Gröebner bases. One presents an approach to compute intersection of modules, which is relatively easy to be implemented in the computer System.
This paper is based on modules, The main result of this paper:
1.Apply the theory of Gröebner basis to improve the method for computing intersection of ideals , and the algorithm is also presented.
2.Apply the theory of modules to improve the method for computing intersection of Modules.
3. Implement all the algorithms in this paper in Maple System.Several examples are illustrated our improvements.
Keywords: Ideals,Gröebner basis,Modules,Syzygy Modules,Intersection of modules
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景及意义 1
1.2 模的发展与现状 2
1.3 本文主要内容 2
1.4 本文安排内容 3
第二章 基础知识及相关理论 4
2.1 环的基本理论 4
2.1.1 环的定义及基本性质 4
2.1.2 环同态 5
2.2 域的基本理论 6
2.3 理想 8
2.4 模及其相关理论 10
2.4.1 模、子模与商模 10
2.4.2 模同态 11
2.4.3 直和、直积与自由模 12
2.4.4 合冲模 13
2.5 本章小结 13
第三章 理想和模的Gröebner基 14
3.1 Gröebner基的基本理论 14
3.2 Hilbert基定理及Gröebner基的算法 16
3.3 MAPLE 符号计算软件介绍 18
3.3.1 Maple简介 18
3.3.2 Gröebner基软件包 19
3.4 理想的交的计算 20
3.4.1 基本定理 20
3.4.2 相应算法 22
3.4.3 进一步研究 22
3.5 模的Gröebner基 25
3.6 本章小结 26
第四章 模的交的算法研究 27
4.1 合冲模及其算法 27
4.2 两个子模的交 30
4.3 多个子模的交 34
4.4 相关算法 39
4.5 本章小结 39
第五章 结论与展望 41
参考文献 42
