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浅谈数学概念的教学

中文提要：数学概念的教学是数学课堂教学的主要内容之一。美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来一种APOS理论，对数学概念的学习有所启示。数学概念教学的两种主要教学模式：概念形成和概念同化的教学模式。数学概念教学的四个步骤：概念的引入、概念的明确、概念的系统化、概念的运用。
关键词：数学概念；APOS理论；教学模式

一 数学概念的重要性

数学概念是数学知识中最基本的内容，反映着人们对现实世界空间形式和数量关系的丰富和深刻的认识，一切数学思维都以数学概念为基础，凭借数学概念来进行，所以数学概念的学习在数学学习中占有极重要的地位。
数学概念有抽象性和具体性双重特点。数学概念的学习，必须经过具体——抽象——具体的认识过程，才能掌握数学概念。概念掌握的真正含义，首先在于领会概念反映的事物的本质特征，还要在此基础上弄清概念的内涵和外延，并能将抽象的概念具体化而加以应用。

二 数学概念的学习及APOS理论

学生学习数学概念，是在己有的认知结构的基础上进行的。新概念的获得，主要依赖认知结构中原有的有关概念，通过新旧概念之间发生联系而完成。获得新概念的最基本的形式有两种：一是概念的形成，二是概念的同化。
概念形成的学习形式主要依靠对具体事物的抽象概括，概念同化的学习形式主要依靠学生对经验的概括和新旧知识的联系。在教学中，教师要把两种形式结合使用，采用何种形式要视所学的具体数学概念而定。一般来说，在低年级概念形成的形式用得较多，在高年级概念同化的形式用得较多。但总的说来，由于数学概念的抽象、逻辑性，致使概念同化的学习形式显得更为重要。或者说，概念同化是学生获得概念的最基本的方式。
一般情况下，学生获取数学概念大致经历以下几个阶段：
1、观察形成概念的材料，抽象、概括出共性；
2、将前一阶段形成的认识结果用语词表述，即给出新概念的定义，使对概念的认识进入形式化阶段；
3、辨别概念的肯定例证和否定例证，进一步明确概念的内涵，廓清概念的外延；
4、新概念与已有概念建立适当的联系，形成比较完整的概念结构体系。
近年来，美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来一种APOS理论，对数学概念的学习有所启示。杜宾斯基认为，学生学习数学概念的过程要经历以下四个阶段的心理建构（以函数概念为例）：
Action（活动）阶段。理解函数需要活动或操作。例如对 ，需要用具体的数字构造对应： ； ； ； ；……通过操作活动，理解函数的意义。
Process（过程）阶段。把上述的操作活动综合为一个函数过程。一般地有 ；其他的各种函数也可以概括为一般的对应过程 。
Object（对象）阶段。然后可以把函数过程当作一个独立的对象来处理，比如函数的加减乘除、复合运算等。在表达式 中，函数 和 都是作为一个整体对象出现的。
Scheme（图式）阶段。此时的函数概念，以一种综合的心理图式存在于脑海里，在数学知识体系中占有特定的地位。这一心理图式含有具体的函数实例性质、抽象的过程、完整的定义，乃至和其他概念的区别和联系（方程、曲线、图像等等）。