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不等式的解法


摘 要: 本文通过对不等式的研究和分析,对所学的知识归纳整理给出了解不等式的一些
运算简便,操作灵活的方法,如零点定理解不等式,插值法解不等式,介质定理与区间法解不
等式,构造法解不等式,分类讨论法解不等式,换元法解不等式,列表法解不等式,根轴法解不
等式.
关键词: 不等式；解法； 数学教育
1 引言
不等式问题贯穿于整个高中数学的始终,在数学这门 学科中占有非常重要的地位,在很多有难度的问题的解决过程中都需要借到不等式来完成.不等式与我们学习中的很多问题有密切的联系,诸如集合问题,方程（组）的解的讨论,函数定义域值域单调性的研究等等无一不与不等式有着密切的联系,一个不等式有多个不同的解法,选择恰当的方法会使我们的解题简洁明了,避免过程复杂烦琐出现错误,还会给我们研究不等式和与不等式有关联的知识提供很大的帮助.
2 解不等式的一些方法
2.1 零点定理法
零点定理：设函数 在闭区间 上连续且 与 异号（即 ﹤0）,那么在区间 内至少有 的一个零点,即至少有一点 ,（ ﹤ ﹤ ）,使 =0.
我们可得：
推论：设函数 在 上有定义，在其定义区间 上连续
(1) 若 在 上没有零点，则 在 上恒正或恒负；
(2) 若 在 上的所有零点依次为 ,这 个零点把区间 分成若干个小区间，则在每个小区间上 恒正或恒负.
这个推论告诉我们，对于(2)（(1)是(2)的特殊情况）中的每个小区间内的一切 值, 恒大于零或恒小于零，即 或 ,于是所有使 成立的小区间的并集即为不等式 的解集,使 成立的小区间的并集就是不等式 的解集.而判断 在每个小区间上的符号只需求某一特殊点的值即可.由此,我们得出不等式 的一般步骤：
(1) 求出函数 的定义域的交集,即不等式 的定义域；
(2) 求出函数 的全部零点,这些零点把定义域分成若干个子区间；
(3) 在每个小区间内分别取某一特定值,并取 在这些点的函数值；
(4)上述函数值大于零的点所在的子区间的并集即为 的解集.
例1.︱24 ︱ ︱18 ︱
解：此不等式定义域为（- ）.
令 ＝︱18 ︱-︱24 ︱＝0，
得 .
在［ ］，［ ］，［ ］，［ ］，（4， ）内各取一点算得：

.
　所以，此不等式的解集为 [ .
零点定理的推论提供了一种解不等式的统一方法,它有广泛的适用范围.这种解法的特点是：一方面将“解不等式”转化为“解等式”，另一方面，将不等式解集的探求归结为寻求 的子区间,而这一点又是通过特殊点法实现的,这就避免了由于不等式等价变形的复杂性所引起的繁杂讨论.所以,这种解不等式的方法比传统的方法要简洁方便且准确性高.
2.2 分类讨论法
分类讨论法主要是把不等式进行分类讨论每一部分求出其解集.
例2.解关于 的不等式︱ ︱ .
解：(1)若 即 时解为 .
(2)若 即 时，则原不等式可化为 ①　或
②. (1)可等价变形为 或 ；
因此,当 时，则 或 ，
当 时则 或 .
由(2)可知当 时，则 .
解之, .
当 时， 无解.
(3)当 时，即 ，则︱ ︱ 。所以 且 .
综上所述可知原不等式的解集为：
当 时， ︱ ；
当 时， ︱ 且 ；
当 时， ︱ 或 或 }；
当 , { ︱ 或 .
2.3 构造法
2.3.1 构造函数法
某些不等式，若结合其特点,构造一个函数,利用函数的性质来解,将会使解题简捷明快.
例3.解不等式
解：构造函数 其定义域为 ︱ ，
原不等式化为 .
当 时， .
当 时， （两等号不能同时取到）.
所以，不等式的解集为{ │ }.