2007年高考数学试题分类汇编-函数与导数.pdf

2007年高考数学试题分类汇编函数与导数 ?重庆理?已知函数c
bxxaxxf???44ln)((x>0)在x = 1处取得极值c??3?其中a,b,c
为常数。
?1?试确定a,b的值?
?2?讨论函数f(x)的单调区间?
?3?若对任意x>0?不等式22
)(cxf??恒成立?求c的取值范围。
解??I?由题意知(1) 3
f c? ? ??因此3b c c? ? ? ??从而3b? ??
又对( )
f x求导得? ?
3434
1
ln4'bx
x
axxaxxf????3(4 ln 4 )x a x a b? ? ??
由题意(1) 0
f
?
??因此4 0a b? ??解得12a??
?II?由?I?知3( ) 48 ln
f x x x
?
??0x???令( ) 0f x
?
??解得1x??
当0 1
x? ?时?( ) 0f x
?
??此时( )f x为减函数?
当1
x?时?( ) 0f x
?
??此时( )f x为增函数?
因此( )
f x的单调递减区间为(0 1)??而( )f x的单调递增区间为(1 )??∞?
?III?由?II?知?( )
f x在1x?处取得极小值(1) 3f c? ? ??此极小值也是最小值?要使2( ) 2f x c?≥?0x??恒成立?只需23 2c c? ? ?≥?
即22 3 0
c c? ?≥?从而(2 3)( 1) 0c c? ?≥?
解得
3
2
c≥或1
c?≤?
所以c的取值范围为3
( 1]
2
? ?
?? ? ? ?
?
?
? ?
? ??
?浙江理?设3( )
3
x
f x??对任意实数t?记2
32
( )
3tg x t x t
? ??
?I?求函数( ) ( )ty f x g x
? ?的单调区间?
?II?求证??ⅰ?当0
x?时?( )f x g( ) ( )tf x g x≥对任意正实数t成立?
?ⅱ?有且仅有一个正实数0x?使得0 0( ) ( )x tg x g x
≥对任意正实数t成立?
本题主要考查函数的基本性质?导数的应用及不等式的证明等基础知识?以及综合运
用所学知识分析和解决问题的能力?满分15分?
?I?解?316
4
3 3
x
y x? ? ??由24 0
y x
?
? ? ??得2x? ??
因为当( 2)
x? ?? ??时?y
?
?0?当( 2 2)x? ??时?0y
?
??当(2 )x? ? ??时?0y
?
??
故所求函数的单调递增区间是( 2)
?? ???(2 )? ???单调递减区间是( 2 2)???
?II?证明??i?方法一?令2
3
32
( ) ( ) ( ) ( 0)
3 3tx
h x f x g x t x t x? ? ? ? ? ??
则2
2
3( )
h x x t
?
? ??当0t?时?由( ) 0h x
?
??得1
3x t
??当1
3( )
x x? ? ??时?( ) 0h x
?
??
所以( )
h x在(0 )? ??内的最小值是1
3( ) 0
h t??
故当0
x?时?( ) ( )tf x g x≥对任意正实数t成立?
方法二?
对任意固定的0
x??令2
32
( ) ( ) ( 0)
3th t g x t x t t
? ? ? ??则1 1
3 32
( ) ( )
3
h t t x t??
? ??
由( ) 0
h t
?
??得3t x??当30t x? ?时?( ) 0h t
?
??当3t x?时?( ) 0h t
?
??
所以当3t x
?时?( )h t取得最大值
3 31
( )
3
h x x??
因此当0
x?时?( ) ( )f x g x≥对任意正实数t成立?
?ii?方法一?8
(2) (2)
3tf g
? ??由?i?得?(2) (2)t tg g≥对任意正实数t成立?
即存在正实数02
x??使得(2) (2)x tg g≥对任意正实数t成立?
下面证明0x的唯一性?当02
x??00x??8t?时? 3
0
0( )
3
x
f x??0 016
( ) 4
3xg x x
? ??由?i?得?3
0
016
4
3 3
x
x? ??
再取3
0t x
??得3
03
0
0( )
3xx
g x??所以3
03
0
0 0 016
( ) 4 ( )
3 3x
xx
g x x g x? ? ? ??
即02
x?时?不满足0 0( ) ( )x tg x g x≥对任意0t?都成立?
故有且仅有一个正实数02
x??使得0 0( )0 ( )x tg x g x≥对任意正实数t成立?
方法二?对任意00
x??0 016
( ) 4
3xg x x
? ??因为0( )tg x关于t的最大值是3
01
3
x?所以要
使0 0( ) ( )x tg x g x
≥对任意正实数成立的充分必要条件是?
3
0 016 1
4
3 3
x x?≥?
即2
0 0( 2) ( 4) 0
x x? ?≤? ①又因为00x??不等式①成立的充分必要条件是02x??
所以有且仅有一个正实数02
x??使得0 0( ) ( )x tg x g x≥对任意正实数t成立? ?天津理?已知函数2
22 1
( ) ( )
1
ax a
f x x
x
? ?
? ?
?
R?其中a?R?
?Ⅰ?当1
a?时?求曲线( )y f x?在点(2 (2))f?处的切线方程?
?Ⅱ?当0
a?时?求函数( )f x的单调区间与极值?
本小题考查导数的几何意义?两个函数的和、差、积、商的导数?利用导数研究函数的单
调性和极值等基础知识?考查运算能力及分类讨论的思想方法?满分12分?
?Ⅰ?解?当1
a?时?22
( )
1
x
f x
x
?
??4
(2)
5
f??
又2 2
2 2 2 22( 1) 2 2 2 2
( )
( 1) ( 1)
x x x x
f x
x x
? ? ?
?
? ?
? ?
•?6
(2)
25
f
?
? ??
所以?曲线( )
y f x?在点(2 (2))f?处的切线方程为4 6
( 2)
5 25
y x? ? ? ??
即6 2 32 0
x y? ? ??
?Ⅱ?解?2 2
2 2 2 22 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)
( )
( 1) ( 1)
a x x ax a x a ax
f x
x x
? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ??
由于0
a??以下分两种情况讨论?
?1?当0
a?时?令( ) 0f x
?
??得到11
x
a
? ??2x a
??当x变化时?( ) ( )f x f x
?
?的变
化情况如下表? x 1
a
? ?
? ?
? ?
? ?
?∞ 1
a 1
a
a
? ?
?
? ?
? ?
? a ( )
a?? ∞ ( )f x
? ..