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矩阵的分解

摘要

众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来.

关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解

The Decomposition of the Matrix

ABSTRACT

As everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance  promotes the development of algebra．While as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems．In this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so on．Firstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given．And then，specific decomposition ways of theirs are illustrated．Finally，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examples．

Keywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition

目录

摘要 I

ABSTRACT II

目录 III

一、引言 1

二、矩阵的QR分解 1

（一）矩阵QR分解的基本概念及定理 1

（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例 1

三、矩阵的三角分解 8

（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 8

（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 9

四、矩阵的满秩分解 15

（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 15

（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 15

五、矩阵的奇异值分解 17

（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 17

（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 18

六、结论 20

参考文献 20

致谢 21