概率论理论基础知识内含习题及答案 高等教育 共74页.doc
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概率论理论基础知识内含习题及答案 高等教育 共74页,概率论基础知识第一章 随机事件及其概率一 随机事件§1几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为e。 例如：e1：掷一骰子，观察出现的总数；e2：上...
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概率论基础知识
第一章 随机事件及其概率
一 随机事件
§1几个概念
1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C……
例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。
例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.
例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。
例如，
在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}
在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}
在E3中，Ω={0，1，2，……}
例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。
此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）
若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合)
例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为
第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列
§2事件间的关系与运算
1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A B或B A。
例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}
B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4， 6}则
2、相等：若A B且B A，则称事件A等于事件B，记为A=B
例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B
3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A B，或A+B
例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。
推广：
有限个
无穷可列个
4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A B或AB。
例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则A B={接到6的倍数次呼唤}
推广：
任意有限个
无穷可列个
5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝
6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。
例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。
7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为 显然 ，A∩ =φ
例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的3个产品均为正品}。
§3事件的运算规律
1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A
2、结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）
4、对偶律
此外，还有一些常用性质，如
A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小）。
若A B，则A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等。
例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝
解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为
或
例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：
解：
A1A 2A3={三次射击都击中目标}
A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}
例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。
解，不难看出有如下一些关系：
二 事件的概率
§1概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)≥0，P（Ω）=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。
（1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同；
例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为
Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）= 。
而P（B）=3P（A）=
第一章 随机事件及其概率
一 随机事件
§1几个概念
1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C……
例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。
例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.
例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。
例如，
在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}
在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}
在E3中，Ω={0，1，2，……}
例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。
此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）
若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合)
例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为
第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列
§2事件间的关系与运算
1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A B或B A。
例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}
B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4， 6}则
2、相等：若A B且B A，则称事件A等于事件B，记为A=B
例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B
3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A B，或A+B
例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。
推广：
有限个
无穷可列个
4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A B或AB。
例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则A B={接到6的倍数次呼唤}
推广：
任意有限个
无穷可列个
5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝
6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。
例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。
7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为 显然 ，A∩ =φ
例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的3个产品均为正品}。
§3事件的运算规律
1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A
2、结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）
4、对偶律
此外，还有一些常用性质，如
A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小）。
若A B，则A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等。
例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝
解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为
或
例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：
解：
A1A 2A3={三次射击都击中目标}
A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}
例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。
解，不难看出有如下一些关系：
二 事件的概率
§1概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)≥0，P（Ω）=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。
（1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同；
例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为
Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）= 。
而P（B）=3P（A）=
