2010年高考数学试题分类汇编——函数.doc
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2010年高考数学试题分类汇编——函数,共35页（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。若实数、、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个...
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2010年高考数学试题分类汇编——函数 共35页
（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) x(2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，所以，即a2bab2比a3b3接近；(3) ,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ．
（2010湖南文数）21．（本小题满分13分）
已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1即
即
所以b＜-a
所以b的取值范围是（-∞，-a）
此时
或
（2）当时，则或
于是
此时
综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，
时，
时，
（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
（2010陕西文数）21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.
解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),
由已知得 =alnx，
=， 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
（2）由条件知
（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) x(2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，所以，即a2bab2比a3b3接近；(3) ,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ．
（2010湖南文数）21．（本小题满分13分）
已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
（2010浙江理数） (22)(本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1
即
所以b＜-a
所以b的取值范围是（-∞，-a）
此时
或
（2）当时，则或
于是
此时
综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，
时，
时，
（2010全国卷2理数）（22）（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
（2010陕西文数）21、(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.
解 （1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),
由已知得 =alnx，
=， 解德a=,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)= ,
切线的方程为y-e=(x- e2).
（2）由条件知
