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利用半正定规划解决相位恢复问题

1.15万字 38页 原创作品，通过查重系统


摘 要

这篇论文主要讨论一些解决相位恢复问题的具体方法，简单地解释相位恢复问题，例如将一个信号进行傅里叶变换会得到一些复数，但是我们只知道这些复数的模而不知道它们的相位，我们需要用这些复数的模来恢复出原来的信号，这个问题就是相位恢复问题。这类问题经常出现在X射线晶体学，图像处理等相关学科。
我们主要通过学习研究E.J.Candes等人的利用半正定规划（SDP）解决相位恢复问题的理论写出了这篇论文。由于相位恢复问题是个非凸问题，利用凸松弛的思路，我们把秩约束变成了迹范数约束，这是因为从矩阵的稀疏性考虑，矩阵的秩和迹都能表示矩阵的稀疏性，不同的是，秩约束相当于向量的0范数问题而迹范数约束却相当于1范数问题，在一定条件下，这两个是可以相互转化得到的优化结果是一样的，但是“0范数”是个非凸问题是很难去解决的，而“1范数”问题是个凸规划问题是可以较好解决的，所以我们利用迹范数约束去代替原来的秩约束，从而把非凸问题转化为凸规划问题。另外，我们还利用物理装置来调制信号收集编码衍射的图案的强度，利用半正定规划同样可以解出其原来的信号，其中利用凸松弛的方法解决相位恢复问题叫做Phaselift。本文还简要介绍利用交替最小化解决相位恢复的问题，但交替最小化算法的收敛性是个开放性问题，因为模型本身是非凸问题，所以在很多问题中他的收敛性并不能保证。在相位恢复问题的应用中，这个算法在一定条件下可以理论保证其收敛到全局最优点。



关键字：相位恢复；半正规划；交替最小化