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一等几率矢量和对称破缺


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一 等几率矢量和对称破缺
（一）对称的等几率矢量。 坐标系O为静止系，坐标系O*相对O系静止。从O*点到以O*点为中心，以定长r 为半径的球面A的任意矢量（N=1，2 ，……）假定这无穷多个矢量的出现，就其方向来说是等是几率的，矢量的长度是相等的，矢量之和，定义这样的一组矢量 为对称的等几率矢。 如果定义的这组矢量为速度矢，当O*系相对O系静止时，无论从O系或O*系来考察, 这组矢量都是对称的等几率矢量；如果O*系相对O系以的速度运动，则O*系里的这组等几率矢量，在O系考察时,而等于一个方向与 一致或相反的速度矢量。这时就说O*系里的对称的等几率矢量，在O系里发生了破缺。 在以静止系O的原点为中心的库仑埸中，一个电子绕中心旋转，旋转轴和角动量的方向是等儿率出现的，，是一组对称的等几率矢量。对某些磁性物质，如果引入磁场，则, 这时对称的等几率矢量发生了破缺。 纯数学的线性空间，它的基是一组对称的等几率矢量，或者说它的主轴是对称的等几率矢轴。如引入某个参照物，至少是一条直线，或某些物理条件，这样的线性空间是一个物理空间。它的基或者主轴，不再是对称的等几率矢量，而赋予确定的方向，物理空间是一个有确定方向的线性空间，它是对称的纯数学空间的一种破缺。 通常定义物理量的对称性是：如果某一现象或系统在某一变换下不改变，则说该现象或系统具有该变换所对应的对称性。球函数是SO(3) 群二阶卡塞米尔算符的本征函数，∵SO( 3 ) 群的二阶卡塞米尔算符即角动量算符，具有旋转不变性，旋转变换即SO (3) 群变换，∴具有SO(3) 群变换的对称性。在一个静止系O里任意确定一个轴, 建立起一个球坐标系，用它来表示出球函数，在静止系O里，是一个确定的函数，具有确定的图形。当绕O点在空间中方向等儿率改变时，随机出现 ，以这一组等儿率轴为Z轴，建立一组球坐标系，用它们来表示出球函数，得到,……….的各自的图形。但诸Z轴的出现是一种旋转变换，即SO(3) 群变换，对SO(3) 群变换是对称的，,……..是SO(3)群变换不变的二阶卡塞米尔算符的同一本征函数，在静止系O里考察，诸（N=0，1，2，……）是对称的。把它们表示成n ，则。这样表示出来的n 是一组对称的等几率矢量，具有SO(3) 群变换的不变性。 一个算符和它的本征函数，=f。在一个静止系O里可以表示为一组对称的等几率矢量，. 假设存在一个变换G，它把O系里的这组对称的等几率矢量映射到O*系，得到一组矢量。如果对G变换不变，则在O*系里，*= ，，仍是一组对称的等几率矢量，物理量具有G变换不变性。如果对G变换不是不变的，，，在O*系里，，在O*系里不再是对称的等几率矢量。O系里的对称的等几率矢量经过G变换发生了破缺。前一种情况，即，但，称为对称破缺。如量子力学中“自发对称破缺”；后一种情况，但，称为非对称破缺，如相对运动坐标系中的速度矢量。 概括地说，一个物理量，或说本征矢，如果对某个变换是对称的，则这个物理量对应的算符对该变换是不变的，本征矢经过变换映射后仍是一组对称的等几率矢量。如果物理量对某个变换不是不对称的，则本征矢对应的算符对该变换不是不变的，本征方程添上了一个与变换有关的破缺项，或者本征矢经过变换后不再是一个对称的等几率矢量。物理量的对称破缺必须和算符及本征方程联系起来，必须考虑到对称的等几率矢量的变化, 和空间联系起来分析。 这些论